Analitik Geometri Çalışma Soruları

ANALİTİK GEOMETRİ ÇALIŞMA SORULARIDIR (ÇEMBER):

 

1. Merkezi M(3, -4) ve yarıçapı 5 birim olan

çember denklemini bulunuz.

Ç:Merkezi M(a,b) ve yarıçapı R olan çember denklemi

(x-a)²+(y-b)²=R² olduğundan aranan

çember denklemi (x-3)²+(y+4)²=25 dir.

 

2. Merkezi M(3,-4) olan ve x eksenine teğet olan

çember denklemini bulunuz.

Ç:

Şekilde görüldüğü gibi çemberin merkezi

M(3,-4) ve yarıçapı r=4 birimdir.Buna göre aranan çember denklemi;

(x-3)²+(y+4)²=16 dır.

 

3. Merkezi M(-3,-4) olan ve y eksenine teğet olan

çember denklemini bulunuz.

Ç:

Şekilde görüldüğü gibi çemberin merkezi

M(-3,-4) ve yarıçapı r =3 birimdir.Buna göre aranan çember denklemi;

(x+3)²+(y+4)²=9 dur.

 

4. Yarıçapı 5 birim ve eksenlerin ikisine birden teğet olan çember denklemlerini bulunuz.

Ç:

Probleme uyan çemberlerin merkezleri şekilde görüldüğü gibi K(-5, 5), L(5, 5), M(5, -5) ve

N(-5, -5) tir. Her bir çemberin yarıçapının eşit ve 5 olduğu açıktır.Buna göre aranan 4 çemberin denklemleri;

(x+5)²+(y-5)²=25, (x-5)²+(y-5)²=25

(x-5)²+(y+5)²=25, (x+5)²+(y+5)²=25 bulunur.

 

5. Merkezi M(2, -4) olan ve 3x+4y=7 doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.

Ç:

Şekilden ½MH½=r =Þ r=3/5

Buna göre çember denklemi;

(x+2)²+(y-4)²=9/25 bulunur.

 

6. Merkezi M(1, -7) olan ve A(-7, -1) noktasından geçen çember denklemini bulunuz.

Ç:Aranan çemberin yarıçapı r=½MA½= =10 olur.

Buna göre çember denklemi;

(x-1)²+(y+7)²=100 bulunur.

 

7. A(3, -5) ve B(-11, 7) olmak üzere [AB] çaplı çemberin denklemini bulunuz.

Ç:Çemberin merkezi M( Þ M(-4, 1)

Yarıçapı r = ½MA½= dir.

Buna göre çember denklemi: (x+4)²+(y-1)²=85

bulunur.

 

8. x=3 ve x+9=0 doğrularına teğet olan ve merkezi 3x-4y=15 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemini bulunuz.

Ç:Doğru denklemleri x=3 ve x= -9 olduğundan, çemberin merkezinin apsisi a=dır.

M(-3, b) olsun.Merkezi verilen doğru üzerinde olacağından, denklemi sağlar.Yani;

3.(-3)-4b=15 Þ b=- 6 M(-3, -6)

x=3 ve x=-9 doğruları birbirine ve y eksenine paralel olduklarından 2r = 3+9=12 Þ r =6 olur.

Buna göre çember denklemi; (x+3)²+(y+6)²=36

bulunur.

 

9. 3x-4y=11 ve 6x-8y+18=0 doğrularına teğet olan ve merkezi x-2y=13 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemini bulunuz.

Ç:Dikkat edilirse doğrular birbirine paralel olup

aralarındaki uzaklık çemberin çap uzunluğuna eşittir.Önce doğru denklemlerini düzenleyelim:

 

3x-4y-11=0

6x-8y+18=0

 

3x-4y-11=0

3x-4y+9=0

 

Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık;

2r ==4 Þ r =2

Çemberin merkezinin ordinatı b ise

M(2b+13, b) biçimindedir.

M nin bir doğruya olan uzaklığı yarıçap uzunluğuna eşit olacağından;


Þ
½2b+28½=10


Þ
½2b+48½=10

Her iki denklemin ortak çözümünden b=-19 bulunur.Buna göre M(-25, -19) olur.

O halde çember denklemi;

(x+25)²+(y+19)²=4 bulunur.

 

10. 3x-4y=12 ve 4x-3y=24 doğrularına teğet ve merkezleri x-2y=4 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemlerini bulunuz.

Ç:Çemberlerin merkezleri verilen ilk iki doğrunun açıortayları üzerinde olmalıdır.Önce iç ve dış açıortaylarını bulalım:

 

Þê3x-4y-12ê=ê4x-3y-24ê

Þ3x-4y-12=4x-3y-24 veya 3x-4y-12=-4x+3y+24

Þx+y=12 veya 7x-7y=36

Çemberlerin merkezleri açıortayla 2x-y=4 doğrusunun kesişiminde olacağından, bulduğumuz denklemleri bu denklemle ortak çözelim:

(x+y=12 ve 2x-y=4 ) Þ x=16/3, y=20/3

(7x-7y=36 ve 2x-y=4) Þ x=-8/7, y=-44/7

O halde çemberlerin merkezleri;

bulunur.

Şimdi de çemberlerin yarıçaplarını hesaplayalım:

=68/15

=2 dir.

Buna göre çember denklemleri;

 

olarak bulunur.

 

11.

Şekilde K(3, 4) ve OK ^ KL ise OKL

dik üçgeninin çevrel çemberinin denklemini

bulunuz.

Ç:

L(a,0) olsun.

Þ
Þ 3a-9=16Þa=25/3

Üçgenin çevrel çemberi , M(25,6) merkezli ve r=25/6 olan çemberdir.O halde aranan çemberin denklemi;

(x-25/6)²+y²=(25/6)² bulunur.

 

12. Merkezi (1, -3) olan ve 3x+4y=11 doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.

Ç:Çemberin yarıçap uzunluğu, merkezin doğruya olan uzaklığıdır.

=4 olur.

O halde çember denklemi;

(x-1)²+(y+3)²=16 olur.

 

13.

Şekildeki çember, y eksenine A(0,) da teğet

olduğuna göre çember denklemini bulunuz.

Ç:

M yi orijine birleştirelim.OAM dik üçgeninde ve çemberin merkezi

M(bulunur.Buna göre M merkezli ve r=2 birim yarıçaplı çember;

(x-2)²+(y+=4 bulunur.

 

14. A(4, 5) noktasının y=mx+2 doğrularına göre simetriklerinin geometrik yerini bulunuz.

Ç:y=mx+2 doğrularının oluşturduğu doğru demetinin kesim noktasını bulalım.

m=0 Þ y=2

m=1Þy=x+2

Kesim noktası B(0, 2) dir.


A nın simetriği A'(x, y) olsun.BAA’ üçgeni ikizkenar olduğundan

 

Buradan aranan çember denklemi

x²+(y-2)²=25 bulunur.

 

15. A(0,2) ve B(3, 3) noktalarından geçen ve merkezi y=2x-8 doğrusu üzerinde bulunan

çember denklemini bulunuz.

Ç:

Çemberin merkezinin apsisi a olsun.Ordinatı 2a-8 olmalıdır.Ayrıca [AB] nın orta dikmesi M den geçer.Bu durumda MAB üçgeni ikizkenar olur.

½MA½=½MB½

Þ

Þ -40a+100= -50a+130 Þ a=3

Þ M(3, -2) r==5 olur.

Buna göre aranan çember denklemi;

(x-3)²+(y+2)²=25 bulunur.

 

16. Merkezi x-y=3 doğrusu üzerinde bulunan,

A(3, -7) noktasından geçen ve 3x-4y+13=0

doğrusuna teğet olan çember denklem(ler)ini

bulunuz.

Ç:

Çemberin M merkezinin apsisi a olsun.

Ordinatı da a-3 olur.

r=½MA½=½MH½

Þ

Þ49a²-100a=0Þa=0 veya a=100/49

Buna göre probleme uyan iki çember vardır.

Bunların merkezleri, yarıçapları ve denklemleri şöyledir:

 

 

 

17. A(-1, 4) noktasından geçen ve 3x-4y=6 doğrusuna B(6, 3) noktasında teğet olan çember denklemini bulunuz.

Ç:

M merkezi, [AB] nın orta dikmesi ile B den

teğet doğruya çıkılan dik doğrunun kesiştiği noktadır.H noktası [AB] nın ortasıdır.

H(5/2, 7/2)

MH: … (I)

 

MB: y-3=Þ4x+3y=33 … (II)

(I) ve (II) denklemlerinin çözümünden;

x=3, y=7 Þ M(3, 7)

r=½MB½=

O halde çember denklemi; (x-3)²+(y-7)²=25 olur.

 

18. (x-a)²+(y-b)²=R² çemberine m eğimli teğet

denklemlerini bulunuz.Bundan faydalanarak

a) x²+y²=25 çemberine 3x-4y+11=0 doğrusuna

paralel teğetlerini bulunuz.

b) x²+y²-2x+4y=44 çemberine 4x+3y=13 doğrusuna

dik teğetlerini ve değme noktalarını bulunuz.

Ç:

Eğimi m olan doğru denklemi y=mx+n biçiminde olacaktır.

M(a, b) merkezinin bu doğruya uzaklığı R

yarıçap uzunluğuna eşit olur.Yani;

eşitliğinden değerleri hesaplanarak, aranan y=mx+doğru denklemleri bulunur.

a)x²+y²=25 çemberinin merkezi M(0, 0) yarıçapı R=5 tir.

3x-4y+11=0 Þ m=Þy=x+nÞ3x-4y+4n=0

Merkezin bu doğruya uzaklığı yarıçap uzunluğuna eşittir.Yani;

5=Þê4nê=25Þ

Ohalde aranan teğet denklemleri:

3x-4y+25=0 ve 3x-4y-25=0 bulunur.

 

b) x²+y²-2x+4y=44Þx²+y²-2x+4y-44=0


Þ M(1,-2)

ÞR=ÞR=7

4x+3y=13 Þm=-4/3 .Bu doğruya dik doğrunun eğimi 3/4 olur.Teğet denklemi de y=

Þ3x-4y+4n=0 biçimindedir.

7=Þ 4n=24 veya 4n=46 bulunur.Buna göre aranan teğet denklemleri;

3x-4y+24=0 veya 3x-4y+46=0 olur.

Değme noktası T(, ) olsun.

Bu noktadan çizilen teğet denklemi

 

 

x+ y-(+x)+2( +y)-44=0

Denklemi düzenleyelim

(-1)x+ (+2)y-+2 -44=0

Bu teğet denklemi bulduğumuz teğet denklemleriyle aynı olması (çakışması) gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır:

3x-4y+24=0 veya 3x-4y+46=0

 

 

Þ =-16/5, =18/5

 

Þ =-80/57, =206/171

Buna göre değme noktaları;

 

bulunur.

 

19. x²+y²+2x-4y=20

x²+y²-4x-2y=11 çemberlerinin kesim noktalarından geçen ve merkezi x-8y=16 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemini bulunuz.

Ç:

Aradığımız çember, ve çemberlerinin oluşturduğu çember demetinin bir üyesi olmalıdır.Önce bu çember demetini yazalım:A

x²+y²+2x-4y-20+k(x²+y²-4x-2y-11)=0

Þ (1+k)x²+(1+k)y²+(2-4k)x+(-4-2k)y-20-11k=0

Aradığımız çemberin merkezi x-8y=16 doğrusu üzerinde olacağından, merkezinin ordinatına a dersek apsisi 8a+16 olur.Yani M(8a+16, a) biçimindedir.Öte yandan doğru demetine ait bir çemberin merkezi de;

M() dir.Bu iki merkezin çakışması gerekeceğinden;

8a+16= … (I)

a= … (II)

Bu denklem sistemi çözülürse; k= -3/2 ve aranan çember denklemi de;

x²+y²-16x+2y+7=0 veya (x-8)²+(y+1)²=58 bulunur.

 

20. Kenar denklemleri x=6, x+2y=0 ve x-2y=8 olan üçgenin çevrel çember denklemini bulunuz.

Ç:Doğruları ikişer ikişer kesişim noktalarını yani üçgenin köşelerini bulalım:

(x-6 =0, x+2y=0) Þ A(6, -3)

(x-6=0, x-2y=8) Þ B(6, -1)

(x+2y=0, x-2y=8) Þ C(4,-2)

Bu üç noktadan geçen çember denklemi;

x²+y²+Ax+By+C=0 biçiminde olsun.Çember bulduğumuz üç köşeden de geçeceğinden genel denklemi sağlar:

36+9+6A-3B+C=0 Þ6A-3B+C=-45

36+1+6A-B+C=0 Þ6A-B+C=-37

16+4+4A-2B+C=0 Þ4A-2B+C=-20

Bu denklem sistemi çözülürse;

A=-21/2, B=4, C=30 ve buradan da çember denklemi;

x²+y²-21x/2+4y+30=0Þ2x²+2y²-21x+8y+60=0

bulunur.

 

21. x²+y²+Ax+By+C=0 çemberiyle x²+y²+Ax+By+C’=0

çemberinin aynı merkezli olduğunu gösteriniz.

Bundan faydalanarak;

Ç: 4x²+4y²+40x-28y+5=0 çemberinin merkez koordinatlarını bulmadan aşağıda istenenleri bulunuz:

a) Ç çemberiyle aynı merkezli ve Ox eksenine teğet olan çember denklemini bulunuz,

b) Ç çemberiyle aynı merkezli ve Oy eksenine teğet olan çember denklemini bulunuz,

c) Ç çemberiyle aynı merkezli ve orijinden geçen çember denklemini bulunuz,

d) Ç çemberiyle aynı merkezli ve y=x-1 doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.

Ç: x²+y²+Ax+By+C=0 çemberiyle x²+y²+Ax+By+C’=0

çemberinin her ikisinin de merkez koordinatları

(-A/2), -B/2) olduğundan aynı merkezlidir.

a) 4x²+4y²+40x-28y+5=0 Þ x²+y²+10x-7y+5/4=0

İstenen çemberin denklemi de;

x²+y²+10x-7y+C=0 biçimindedir.Bu çember Ox eksenine teğet olacağından y=0 doğrusuyla arakesitinin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.

x²+10x+C=0ÞD=0ÞD=10²-4.1.C=0ÞC=25

O halde aranan çember; x²+y²+10x-7y+25=0 dır.

 

b) İstenen çember denklemi;

x²+y²+10x-7y+C=0 biçimindedir.Bu çember Oy eksenine teğet olacağından x=0 doğrusuyla arakesitinin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.

y²-7y+C=0ÞD=0ÞD=7²-4.1.C=0ÞC=49/4

O halde aranan çember; x²+y²+10x-7y+49/4=0

Þ 4x²+4y²+40x-28y+49=0dır.

 

c) İstenen çember denklemi;

x²+y²+10x-7y+C=0 biçimindedir.Bu çember O(0, 0) noktasından geçeceğinden; denklemde x=0 ve y=0 değerleri konursa C=0 ve buradan da aranan çember denklemi de; x²+y²+10x-7y=0 bulunur.

 

d) İstenen çember denklemi;

x²+y²+10x-7y+C=0x²+y²+10x-7y+C=0 biçimindedir.Bu çember y=x-1 doğrusuna teğet olacağından, çember denklemiyle y=x-1 denkleminin çözüm kümesi bir elemanlı olmalıdır.

x²+(x-1)²+10x-7(x-1)+C=0Þ2x²+x+8+C=0ÞD=0

ÞD=1-4.2.(8+C)=0ÞC=-63/8 ve buradan da aranan çember denklemi de; x²+y²+10x-7y-63/8=0

Þ 8x²+8y²+80x-56y-63=0 bulunur.

 

22. A(2, 4), B(7, 5) noktalarından geçen ve merkezi x+2y=9 doğrusu üzerinde bulunan çember denklemini bulunuz.

Ç:

M merkezi x+2y=9 doğrusu üzerinde olduğundan,

M(9-2a, a) biçimindedir.½MA½²=½MB½²=R² olduğundan,

(7-2a)²+(a-4)²=(2-2a)²+(a-5)²Þa=2ÞM(5,2), R²=13

O halde aranan çember denklemi;

(x-5)²+(y-2)²=13 bulunur.

 

23. A(5, -2), B(-3, 2) noktalarından geçen ve 3x-4y=23 doğrusuna teğet olan çember denklemini bulunuz.

Ç:

[AB] nin orta C noktası C(1, 0) dır.

AB^MC Þ olur.

Buna göre MC nin denklemi: y-0=2(x-1)

Þy=2x-2 dir.M noktası MC doğrusu üzerinde olduğundan denklemini sağlar.M noktasının apsisi a olsun, ordinatı da 2a-2 olur.Yani M(a, 2a-2) dir.

½MA½=½MB½=RÞ½MA½²=½MB½²=R²

Þ(a-5)²+(2a)²=(a+3)²+(2a-4)²Þ a=2ÞM(2, 2)

R=½MT½= dir.

Buna göre aranan çember denklemi;

(x-2)²+(y-2)²=25 bulunur.

 

24. Yarıçapı 3 birim olan ve merkezi 11x-8y=31 doğrusu üzerinde bulunan ve

a) Ox eksenine teğet olan,

b) Oy eksenine teğet olan çember denklemlerini bulunuz.

Ç:a)


½b½=R=3Þ()

Þ ( )

Buna göre aranan çemberlerin merkezleri

ve denklemleri de

(x-5)²+(y-3)²=9 ve (x-7/11)²+(y+3)²=9 olarak bulunur.

 

b)


 

½a½=R=3Þ()

Þ ( )

Buna göre aranan çemberlerin merkezleri

ve denklemleri de

(x-3)²+(y-1/4)²=9 ve (x+3)²+(y+8)²=9 olarak bulunur.

 

25. Ç: x²+y²+6x-16y=12 ile d: 6x-7y=25 doğrusu veriliyor.

a) d doğrusuna paralel teğetlerin denklemlerini bulunuz.

b) d doğrusuna dik teğetlerin denklemlerini bulunuz.

Ç:a)


Önce çemberin M merkezinin koordinatlarını ve R yarıçap uzunluğunu bulalım:

M(-6/2, 16/2)ÞM(-3, 8)

dir.

½MH½=RÞ

Þ½-74+C½=85Þ(C-74=85 V C-74=-85)

ÞC=159 V C=-11

Buna göre aranan teğetler;

6x-7y+159=0 ve 6x-7y-11=0 dır.

 

b)


 

İstenen teğetler 6x-7y-25=0 doğrusuna dik olacağından, denklemi 7x+6y+C=0 biçiminde olmalıdır.

½MH½=RÞ

Þ½27+C½=85Þ(C+27=85 V C+27=-85)

ÞC=58 V C=-112

Buna göre aranan teğetler;

7x+6y+58=0 ve 7x+6y-112=0 dır.

 

26. x²+y²-2x+6y-6=0 çemberi ile 3x-4y+7=0 doğrusu veriliyor.

a) Verilen doğruya paralel teğetlerin değme noktalarını bulunuz.

b) Verilen doğruya dik teğetlerin değme noktalarını bulunuz.

Ç:a) Önce çemberin M merkezinin koordinatlarını ve R yarıçap uzunluğunu bulalım.

M(2/2, -6/2)ÞM(1, -3)

dür.

Verilen doğruya paralel teğetlerin denklemleri

3x-4y+C=0 biçimindedir.Merkezin bu doğruya olan uzaklığı yarıçapı verdiğinden;

Þ½C+15½=20Þ(C=5 V C=-35)

O halde teğet denklemleri;

3x-4y+5=0 ve 3x-4y-35=0 bulunur.

Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu noktadan çizilen teğet denklemi;

x+y-(+x)+3(+y)-6=0

Þ(-1)x+(+3)y-+3-6=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz teğet denklemleri aynı doğruyu göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.

 

Buradan T değme noktasının koordinatları

T(-7/5, 1/5) bulunur.

Benzer biçimde aynı işlemleri diğer denklem için

uygularsak;

 

T’ değme noktasının koordinatları

T'(17/5, -31/5) bulunur.

 

b) 3x-4y+7=0 doğrusunun eğimi m=3/4 olduğundan bu doğruya dik olan doğrunun eğimi m’=-4/3 olup denklemi 4x+3y+C=0 biçimindedir.Merkezin bu doğruya olan uzaklığı yarıçapı verdiğinden;

Þ½C-5½=20Þ(C=25 V C=-15)

O halde teğet denklemleri;

4x+3y+25=0 ve 4x+3y-15=0 bulunur.

Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu noktadan çizilen teğet denklemi;

x+y-(+x)+3(+y)-6=0

Þ(-1)x+(+3)y-+3-6=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz teğet denklemleri aynı doğruyu göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.

 

Buradan T değme noktasının koordinatları

T(-11/5, -27/5) bulunur.

Benzer biçimde aynı işlemleri diğer denklem için

uygularsak;

 

T’ değme noktasının koordinatları

T'(21/5, -3/5) bulunur.

 

27. x²+y²=13 çemberine dışındaki P(7, 9) noktasından çizilen teğet denklemlerini ve değme noktalarını bulunuz.

Ç:Aranan teğetin denklemi y=mx+n olsun.

Teğet P(7, 9) noktasından geçeceğinden denklemini sağlamalıdır.

9=7m+n … (I)

Çemberin merkezi M(0, 0) ın teğete olan uzaklığı R= birim olmalıdır.

Þ
½n½

Þ n²=13m²+13 … (II)

(I) ve (II) denklemi çözülürse

(9-7m)²=13m²+13Þ36m²-126m+68=0

Þ18m²-63m+34=0Þ(6m-17)(3m-2)=0

Þ=17/6 ve =-65/6

Þ=2/3 ve =13/3

Buna göre aranan teğetlerin denklemleri;

Þ 17x-6y-65=0


Þ 2x-3y+13=0 bulunur.

Bir teğetin değme noktası T(,) olsun.Bu noktadan çizilen teğet denklemi;

x+y-13=0 dır.Bu denklemle bulduğumuz

17x-6y-65=0 ile 2x-3y+13=0

teğet denklemleri aynı doğruyu göstermesi gerektiğinden, katsayıları orantılı olmalıdır.

Buna göre T ve T’ değme noktaları;

Þ= , =ÞT(17/5, -6/5)

Þ=-2 , =3ÞT'(-2, 3) olarak bulunur.

 

28. x²+y²=1 ve x²+y²+2x=0 çemberlerinin kesişim noktalarından geçen ve aşağıdaki şartları sağlayan çember denklemlerini bulunuz.

a) P(3, 2) noktasından geçsin

b) Merkezinin apsisi 3 olsun

c) Merkezi x-2y=6 doğrusu üzerinde bulunsun

Ç:Aranan çemberler x²+y²=1 ve x²+y²-2x=0 çemberlerinin oluşturduğu çember demetinin bir üyesi olmalıdır.Bu çember demeti kÎR olmak üzere,

x²+y²-1+k(x²+y²-2x)=0Þ (1+k)x²+(1+k)y²-2kx-1=0 biçimindedir.

a) Aranan çember P(3, 2) noktasından geçeceğinden, çember demetini sağlamalıdır.

(1+k)3²+(1+k)2²-6k-1=0Þk=-12/7 dur.

O halde aranan çember denklemi;

(1-12/7)x²+(1-12/7)y²+24x/7-1=0

5x²+5y²-24x+7=0 bulunur.

 

b) (1+k)x²+(1+k)y²-2kx-1=0 ÞM()

ÞÞk=-3

O halde aranan çember denklemi;

-2x²-2y²+6x-1=0 Þ2x²+2y²-6x+1=0 bulunur.

 

c) M merkezi x-2y=6 doğrusu üzerinde ise;

M(2a+6, a) biçimindedir.

Burada () Þ k=-3/2 olur.

O halde aranan çember denklemi;

x²+y²-6x+2=0 bulunur.

 

29.

Denklemi (x-a)²+(y-b)²=R² olan bir çember ile dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları olsun.Buradaki değme noktalarını birleştiren doğrusuna kutup doğrusu (değme kirişi), P noktasına da kutup denir.Buna göre çember dışındaki düzlemin her kutup noktasına bir kutup doğrusu, her kutup doğrusuna da çemberin dış bölgesinde bir kutup noktası karşılık gelir.Şayet P kutup noktası çember üzerinde ise buna karşılık gelen kutup doğrusu, P den çembere çizilen teğet denklemidir.

Denklemi (x-a)²+(y-b)²=R² olan çemberin üzerindeki bir noktasından çizilen teğet denklemi (kutup doğrusu)

(-a)(x-a)+(-b)(y-b)=R² olduğundan, kutup noktası çember dışında da olsa buna karşılık gelen kutup doğrusunun denklemi de aynı, yani

(-a)(x-a)+(-b)(y-b)=R² dir.

Yukarıda verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

 

a) x²+y²=36 çemberine P(-4,8) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren doğruyu bulunuz.

 

b) x²+y²-8x+2y=32 çemberine, düzlemin hangi noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını birleştiren değme kirişi x-4y=12 doğrusudur?

 

c)


Şekildeki çemberin denklemi x²+y²=16,

d doğrusunun denklemi 3y-4x=24,

l’ doğrusunun denklemi y=4x-13,

P den çizilen teğetler t ve t’,

l//l’ olduğuna göre P noktasının koordinatlarını ve l doğrusunun denklemini bulunuz.

Ç:a) x²+y²=36 çemberine P(-4,8) noktasından çizilen değme kirişi (kutup doğrusu) denklemi;

-4x+8y=36Þ x-2y+9=0 dir.

 

b) x²+y²-8x+2y=32 çemberinin x-4y=12 kutup doğrusuna karşılık gelen kutbu bulmamız isteniyor.Bu nokta P(a, b) olsun.Bu noktaya karşılık gelen kutup doğrusu;

ax+by-4(a+x)+(b+y)-32=0

Þ(a-4)x+(b+1)y-4a+b-32=0 biçimindedir.

Bu doğru verilen x-4y-12=0 doğrusu ile çakışması gerektiğinden;

 

Þ(4a+b=15 ve 8a+b=80)

ÞP(65/4, -50) bulunur.

 

 

c)


Şekildeki çemberin denklemi x²+y²=16,

d doğrusunun denklemi 3y-4x=24,

l’ doğrusunun denklemi y=4x-13,

P den çizilen teğetler t ve t’,

l//l’ olduğuna göre P noktasının koordinatlarını ve l kutup doğrusunu bulacağız.

Şekle göre l doğrusu P kutup noktasının, kutup doğrusudur.

l//l’ olduğundan denklemi l kutup doğrusunun denklemi y=4x+nÞ4x-y+n=0 biçiminde olmalıdır.

P noktası d doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları, a bir parametre olmak üzere P(3a-24, 4a) biçimindedir.

P nin kutup doğrusu (3a-24)x+4ay-16=0 dir.Bu doğru 4x-y+n=0 doğrusu ile çakışacağından; katsayıları orantılı olmalıdır.

Þ (-3a+24=16aÞ19a=24 Þ a=24/19 ve 4an=16Þ4.24.n/19=16Þn=19/6) olur.

Buna göre; P kutup noktası P(-384/19, 96/19),

l kutup doğrusunun denklemi de 4x-y+19/6=0

Þ24x-6y+19=0 bulunur.

 

31. d: 2x+3y=6 doğrusuna ve d’: 3x-2y+8=0 doğruları veriliyor.

a) Bu iki doğruya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeri nedir?

b) d ye olan uzaklığı, d’ ye olan uzaklığının 3 katı olan noktaların geometrik yeri nedir?

c) Bu iki doğruya olan uzaklıklarının kareleri toplamı 10 olan noktaların geometrik yeri nedir?

Ç: a) Geometrik yere ait bir P(x, y) noktası alalım.P nin verilen iki doğruya uzaklıklarını eşitleyelim.

Þ (2x+3y-6=3x-2y+8 veya 2x+3y-6=-3x+2y-8) Þ (x-5y+14=0 veya 5x+y+2=0) bulunur.

 

b) Geometrik yere ait bir P(x, y) noktası alalım.P nin d ye olan uzaklığı d’ ye olan uzaklığının 3 katı olması bağıntısını yazalım.

 

Þ(2x+3y-6=9x-6y+24 veya 2x+3y-6=-9x+6y-24)

Þ (7x-9y+30=0 veya 11x-3y+18=0)

 

c) Geometrik yere ait bir P(x, y) noktası alalım.P nin verilen iki doğruya uzaklıklarının kareleri toplamını 10 a eşitleyelim.

 

Þ (2x+3y-6)²+(3x-2y+8)²=130

Þ18x²+18y²+24x-68y-30=0

 

32. A(-1, 11) ve B(9, -4) noktaları veriliyor.

 

a) A ve B noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri nedir?

 

b) [AB] yi 2/3 oranında bölen noktaların geometrik yerini bulunuz.

 

c) Teorem: “Düzlemde [AB] doğru parçasını verilen bir k oranında bölen noktaların geometrik yeri; [AB] doğru parçasını içten ve dıştan k oranında bölen noktalar P ve Q olmak üzere, [PQ] çaplı çemberdir.” (Apolonyüs Çemberi)

Teoremini kullanarak b) şıkkını ikinci bir yoldan çözünüz.

Ç: a) Aranan geometrik yere ait bir nokta P(x, y) olsun.

½PA½=½PB½Þ

Þx²+y²+2x-22y+122=x²+y²-18x+8y+97

Þ20x-30y-25=0Þ4x-6y-5=0 bulunur.

b) Þ

Þ9.((x+1)²+(y-11)²)=4.((x-9)²+(y+4)²)

Þ5x²+5y²+90x-230y+710=0

Þx²+y²+18x-46y+142=0

Þ(x+9)²+(y-23)²-81-529+142=0

Þ(x+9)²+(y-23)²=468

Aranan geometrik yer, merkezi M(-9,23) ve yarıçapı R= olan çemberdir.

 

c) A(-1, 11) ve B(9, -4) Önce [AB] yi içten ve dıştan 2/3 oranında bölen P ve Q noktalarını bulalım.

½PA½=2x, ½PB½=3x Þ
½AB½=5x

9-(-1)=10Þ10/5=2 Þ P nin apsisi -1+2.2=3;

11-(-4)=15Þ15/5=3ÞP nin ordinatı 11-2.3=5

½QA½=2y, ½QB½=3y Þ
½AB½=y

Q nün apsisi -1-2.10=-21,

Q nün ordinatı 11+2.10=41

O halde P(3, 5) ve Q(-21, 41) olur.

ÞM(-9, 23),

Buna göre aranan Apolonyüs çemberi;

(x+9)²+(y-23)²=468 bulunur.

 

33. “Dokuz Nokta (Euler) Çemberi:

Bir çemberde, kenarların orta noktaları, yükseklik ayakları ve yüksekliklerin kesim noktalarını köşelere birleştiren doğru parçalarının orta noktaları aynı çember üzerinde bulunur.

 

İspat:

ABC üçgeninin kenarlarının orta noktaları D, E, F;

yüksekliklerinin ayakları H, K, L; yüksekliklerinin kesim noktası (ortosantr) O, O ile köşeleri birleştiren doğru parçalarının ortaları M, N, P olsun.

Üçgenin A köşesini Oy ekseni üzerinde, B ve C köşelerini Ox ekseni üzerinde alalım:

A(0, a), B(b, 0), C(c,0) olsun.Buna göre kenarların denklemi

AB: x/b+y/a=1Þax+by=ab

AC: x/c+y/a=1Þax+cy=ac

BC: y=0 olur.

ÞBK: y=c(x-b)/aÞcx-ay=bc

ÞCL: y=b(x-c)/aÞbx-ay=bc

Bu iki denklemin ortak çözümünden O ortasantrı bullalım:

BKÇCL={O}Þ O(0, -bc/a)

M noktası [OA] nın ortası olduğundan M

D noktası [BC] nın ortası olduğundan D

MHD dik açı olduğundan, [MD] çaplı çember MHD noktalarından geçer.Bu çemberin denklemi;

çemberin merkezi [MD] nin ortası M'(;

yarıçapı R=½M’D½=

MHD çemberinin denklemi:


Þ x²+y² –

ACÇBK={K}

AC: ax+cy=ac

BK: cx-ay=bc Þ K(

 

AB: ax+by=ab

CL: bx-ay=bcÞL(

[AC] ve [AB] nin ortası

E, F dir.

 

[OB] nin ortası N

[OC] nin ortası P

[NE] nin ortası M”

[PF] nin ortası M”’

Görüldüğü gibi M’, M”, M”’ noktaları aynı nokta olup

[MD], [NE],[PF] çaplı çember aynı çemberdir ve bu çember H, K, L yükseklik ayaklarından geçer.Böylece

H,D,P,E,K,M,L,F,N dokuz noktadan aynı çember geçer.

 

34. (x-4)²+(y-3)²=9 ile (x+2)²+(y+5)²=16 çemberleri arasındaki en kısa ve en büyük uzaklık kaç birimdir?

Ç:

Şekilde görüldüğü gibi, aranan en kısa uzaklık

|BC|=|OO’|-(R+R’)

en büyük uzaklık ise, |AD|=|OO’|+(R+R’) dür.

Verilen denklemlerden,

O(4, 3), R=3, O'(-2,-5), R’=4 ve |OO’|=olduğundan,

En kısa uzaklık |BC|=10-(4+3)=3 br,

En büyük uzaklık |AD|=10+(4+3)=17 br bulunur.

 

35. (x-1)²+(y+2)² = 4 çemberinin A(-1, 2) noktasına göre simetriğinin denklemi nedir?

Ç:

Verilen çember üzerinde değişken bir P(x, y) noktası alalım.P nin A ya göre simetriği

P'(x’, y’ ) olsun.[PP’] nın ortası A olduğundan;

 

 

P noktası çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlar;

(x-1)²+(y+2)² = 4Þ(-x’-2-1)²+(-y’+4+2)² = 4

Þ (-x’-3)²+(-y’+6)² = 4

Þ(x’+3)²+(y’-6)² = 4

O halde istenen denklem;

(x+3)²+(y-6)² = 4 bulunur.Dikkat edilecek olursa bu bir çember denklemi olup, merkezi verilen çemberin merkezinin A noktasına göre simetriği ve yarıçapları eşittir.

 

36.

Şekilde tana= 2 ve tanb= -1/2 , B(-2, 0) olduğuna göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemi nedir?

Ç:

A(0, a) olsun tan a= 2 Þa/2=2 Þ a=4ÞA(0, 4)

C(0, b) olsun tanb=-1/2 Þ tan(BCA) = ½

Þ4/b=1/2Þb=8 Þ C(8, 0) bulunur.

[BC] ve [AB] kenarlarının orta noktaları,

D(3, 0) ve E(-1, 2) dir.Kenar orta dikmeleri üçgenin çevrel çemberin merkezinden geçer.Bunun için EM ve DM kenar orta dikme doğrularını bulup kesiştirelim:

, E(-1, 2)

ÞEM: y-2 = -1/2(x+1)Þx+2y=3

DM: x=3

Buna göre M(3, 0) olur.R=|MA|=|MB|=5 ve çember denklemi de;

(x-3)²+y²=25 bulunur.

Not: Dikkat edilirse AB ile AC doğrularının eğimleri çarpımı –1 olup birbirine diktir.O halde aranan çember [BC] çaplı çemberdir.

 

37. y=mx doğrularının x²+(y-1)²=4 çemberinden ayırdığı kirişlerinin orta noktalarının geometrik yeri nedir?

Ç:

I. Yol:y=mx doğrusu ile çemberi kesiştirelim.

x²+(mx-1)²=4Þ(1+m²)x²-2mx+3=0

Kesim noktaları A ve B , orta nokta P(x, y) olsun.

 

y=mx =

Bu iki eşitlikten m parametresi yok edilirse (örneğin birincinin karesi alınıp buradaki m² yerine ikinciden bulunan y li değer yazılırsa)

x²+y²-y=0 denklemi bulunur.

II. Yol:

Aranan geometrik yer P(x, y) olsun.Kirişlerin orta dikmeleri merkezden geçeceğinden;

MP^AB Þ
Þ x²+y²-y=0 denklemi bulunur.

 

38. A(3, 3) noktasına olan uzaklığı, başlangıç noktasına olan uzaklığının 2 katına eşit olan noktalarının geometrik yeri nedir?

Ç: Aranan geometrik yere ait bir nokta P(x, y) olsun.Probleme göre |AP|=2|OP| olmalıdır.

 

Þx²+y²+2x+2y-6=0 bulunur.

 

39. A(3, 0) noktasına ve x=1 doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri nedir?

Ç: Aranan geometrik yere ait bir nokta P(x, y) olsun.

Þ y²-4x+8=0 bulunur.

 

40. A(-2, -5) ve B(3, 4) noktalarına olan uzaklıklarının kareleri toplamı 70 olan noktaların geometrik yeri nedir?

Ç: Aranan geometrik yere ait bir nokta M(x, y) olsun.

½MA½²+½MB½²=70Þ(x+2)²+(y+5)²+(x-3)²+(y-4)²=70

Þ2x²+2y²-2x+2y-16=0Þx²+y²-x+y-8=0 bulunur.

 

41. A(-2, -5) noktasına olan uzaklığının karesi, 8x+15y=34 doğrusuna olan uzaklığının 3 katına eşit olan noktaların geometrik yeri nedir?

Ç: Þ

17x²+17y²+44x+25y+595=0 veya 17x²+17y²+92x+215y+391=0 çemberleri bulunur.

 

42.

Şekildeki Ç: (x+2)²+(y-3)²=4 çemberine ve

d :3y=4x doğrusuna teğet olan M(x, y) merkezli çemberlerin merkezlerinin geometrik yerini veren bağıntı nedir?

Ç:

Geometrik yere ait bir çemberin merkezi M(x, y) olsun.Şekilden ½MA½=½MH½+2

Þ

 

 

43. Aşağıdaki şekilde;

A merkezli çember denklemi; x²+y²=4,

B merkezli çember denklemi (x-6)²+y²=9 dur.

Her iki çembere de teğet olan M merkezli çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemini bulunuz.



Ç:

Geometrik yere ait bir çemberin merkezi M(x, y) olsun.

½MA½-2=½MB½-3=rÞ½½MB½½MA½½=1

Þ½=1 bulunur.

 

 

44. x²+y²=4 çemberine ve (x-3)²+y²=25 çemberine teğet olan çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri nedir?

 

Ç:

Verilen çemberler şekilde görüldüğü gibi B(-2, 0) da teğettir.Geometrik yere ait, her iki çembere de teğet değişken bir çemberin merkezi M(x, y) ve yarıçapı r olsun.

½MO½+½MA½=½MO½+½TA½½TM½Þ½MO½+½MA½=2+r+5-r

Þ½MO½+½MA½=7

Buna göre aranan geometrik yerin denklemi

bulunur.