1995 MATEMATİK OLİMPİYATLARI SORULARI

SORU : Şekilde m(Â) = 58° ve O noktası ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. DC kaç derecedir?

A) 32

B) 30

C) 29

D) 28

E) 25

 

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

 

 

Cevap A

SORU : Bir dik üçgenin dik kenarları x ve y birim uzunluktadır. Bu dik üçgenin hipotenüsü

üzerine dışa doğru bir kare çiziliyor. Üçgenin dik köşesi ile karenin merkezi arasındaki uzaklık nedir?

 

A)

B)

C)

D)

E)

 

 

|BK| = ?

ABCK kirişler dörtgenidir. 2a2 = x2 + y2 = |AC|2

KBC ve ABK’da cosinüs teoremi uygulanırsa,

a2 = b2 + y2 – 2by cos 45

+ a2 = b2 + x2 – 2bx cos 45

2a2 = 2b2 + x2 + y2 – 2b cos 45 (x + y) (/ sadeleştirme)

olur.

Cevap B

 

SORU : Şekilde F, [AC]’nin orta noktası, D Î [BC] ve {E} = [BF] Ç [AD] dır.

|DC| = 4 |BD|, Alan(DCFE) = 42 ise Alan(ABE) ne olur?

 

 

 

 

A) 21

B) 20

C) 18

D) 15

E) 12

 

 

ÇÖZÜM:

F noktasından AD ye paralel acak şekilde

FK yı çizelim. an(BED) = A alınırsa,

an(EDKF) = 8A (benzerlikten) :

Alan(KFC) = 6A olur.

14A=42 Þ A=3

(ABE) = A(BFC). = 5A = 15

Cevap D

 

SORU : Şekildeki ABC üçgeninde, m(AC) = 45° , m(AB) = 75° ve |BC| = 6 dır. Yüksekliklerin kesişim noktası H ise |AH| aşağıdakilerden hangisine eşittir.

 

 

A)

B)

C)

D)

E)

Cevap A

 

SORU : Şekilde |BC| = 2, |AC| = 1 ve m(ACD) = 90° dir. [AC] çaplı çemberin [AB] kenarını kestiği E noktasından çembere çizilen teğet BC yi D de kestiğine göre, tan(EDC) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

 

 

 

A) -2

B)

C)

D)

E) 2

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

 

 

 

Cevap A

SORU : Bir ABCD karesinin [AD] ve [CD] kenarları üzerinde sırasıyla K ve L noktaları, m(DÂL) = 30° ve m(DK) = 15° olacak şekilde seçiliyor.

[CK] Ç [AL] = {P} olmak üzere m(APB) kaç derecedir?

 

A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 75

 

ÇÖZÜM 1:

[AL] üzerinde |AB| = x birim uzunluğunda |AT| uzunluğu alalım. CTB ikizkenar olup tepe açısı 30° dir. (ABT eşkenar) m(LCT) = 15° elde edilir. Bu ise P ile Tnin çakışması demektir. Yani,

m(APB)= m(ATB) = 60° dir.

 

 

ÇÖZÜM 1:

Taralı üçgenlerde sinüs teoremi uygulanırsa,

a sin 60 sin 75

olur.

 

sin60.sin(45+a) = sina.sin75

Cevap D

SORU : Şekilde yer alan 8 doğru parçasından her biri tek bir renkle ve ortak bir noktası bulunan doğru parçaları farklı renklerde olmak koşulu ile mevcut 5 farklı renk kullanılarak boyanacaktır. Bu 5 rengin tümünü kullanmak gerekmiyorsa, söz konusu boyama işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?

 

A) 480

B) 720

C) 1200

D) 1680

E) 2160

 

ÇÖZÜM: Önce köşeleri oluşturan 4 doğru parçadan başlayalım. Bunlar 4 , farklı renkle boyanmak zorundadır. 5 farklı rengimiz Kırmızı(K), Beyaz(B) Yeşil(Y), Mavi(M), Turuncu(T) olsun. İçerdeki 4 doğru parça boyandıktan sonra 3 farklı durum olur.

Kullandığımız 4 renkle boyamaya devam ederiz. Bu durumda (1) kodlu kenar 2 türlü boyanabilir. (B,Y). Bu durumda diğerleri tek türlü belli olur. 5! .2

 

 

 

Kullanılmayan boyayı bir tek kenarda kullanalım. Önce bu kenar 4 farklı şekilde seçilir.

(Turuncu kullanılmayan renk olsun)

Daha sonra yanındaki (1) kodlu kenar 2 farklı şekilde (M,Y) boyanır. Bu durumda diğer iki kenar tek türlü seçilir.

5!.4.2

III. DURUM . İki paralel kenar kullanılmayan (T) renkle boyansın bu durumda 5!.2.2.2 farklı şekilde boyanır.

Sonuç olarak 5!(2 + 8 + 8) = 2160 şekilde boyanır.

Cevap E

SORU : Şekilde [BE, ABC üçgeninin bir iç açıortayı [AD ise bir dış açıortayıdır. DE doğrusu AB doğrusunu F noktasından kesmektedir.

m(ABC) = 46°, m(ACB) = 84° ise BFC kaç derecedir.

 

 

A) 94°

B) 92°

C) 90°

D) 88°

E) 84°

 

ÇÖZÜM:

[BE iç açıortay olduğundan dir.

[AD dış açıortay olduğundan dir.

Menelaus,teoreminden (ABC üçgeninde DF doğrusu;)


elde edilir. = 180 – (46 + 42) = 92

Cevap B

SORU : Şekilde A noktasından geçen iki çemberden d doğrusuna B de teğet olanın yarıçapı 9, C’de teğet olanın yarıçapı 4’tür. ABC üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı aşağıdakilerden hangisine eşittir.

A)

B) 5

C) 6

D)

E)

ÇÖZÜM: O, ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olsun. |OB| = |OC| dir. O ile diğer çemberlerin merkezlerini birleştirirsek, O2O ^ AB ve K orta noktadır. ([AB] ortak kiriş). Aynı şeyler diğer çember içinde geçerlidir. a+b+c=90°dir.

(m(OBK) = a , m(OBC) = b, m(OAC)=c)

Bu durumda oluşan açılar şekilde gösterilmiştir.

Cevap C